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数学の広場、手を動かす幾何学、小平邦彦「幾何への誘い」2010年02月15日 10時08分35秒

ASAHIネット(http://www.asahi-net.or.jp )のjouwa/salonからホットコーナー(http://www.asahi-net.or.jp/~ki4s-nkmr/ )に転載したものから。
---
http://iiyu.asablo.jp/blog/2010/01/13/4809715
スピログラフ
を書いたとき、
http://www.geocities.jp/sgwr0/sp/sp.html
サイクロイドとスピログラフ
を紹介したが、ここの親リンクである菅原民生氏による
http://www.geocities.jp/sgwr0/index.html
数学の広場
がとても面白かった。
 菅原氏は、長崎大学教育学部の教授だった方なんですね。
http://www.geocities.jp/sgwr0/kansoubun/kika1.html
「幾何学1」の感想文
は、とりわけ面白い。
 公式の丸暗記なんて、まったく無意味とはいわないけれど、それが出てきた
プロセスを理解してないなら、ほとんど意味なし。
 特にいまは、公式集なんてネットにあふれているし、MathematicaやMaxima
やSやらRやらなんやらの数式処理ソフトを使えば、計算までしてくれるんだか
ら。
 勝間和代などのカモリーマン向けの本を読む奴はバカだと断言できるのは、
これらの本が、いわば公式の羅列だから。それが出てくるプロセスが重要なの
に、勝間和代は、著者もプロセスを理解できてない有様だから、公式をつまみ
食いして寄せ集めるしかできない。それでカモリーマン向けの本が作られてい
る。それを読んで、どれだけの意味があるのか。筋が悪いというのはそういう
こと。
http://iiyu.asablo.jp/blog/2010/01/10/4806223
Re: 高校数学基礎、「数学センスをみがこう」など秋山仁の数学入門本
で書いた、ソフトウェア工学がプロセス指向になった話と同じです。
 上記、感想文を読むと、学生は、そのことに気づいたわけ。そして、彼らが
教師になったときに、ちゃんと教えないといけないと考え始めたわけ。
 それにしても、初等幾何をしっかり自分で手を動かして学ぶのは、教育効果
がすごく高いね。人間の脳と身体性、そして何より心に非常に効きますね。
 これもまた、上記「スピログラフ」で、
--- ここから ---
 数学教育における初等幾何の重要性は、
http://iiyu.asablo.jp/blog/2009/12/07/4744912
続第59回東レ科学講演会。折り紙工学、ホログラフィックニューラルネットワ
ーク、DNAロボットなどなど
で、ちょこっとだけ紹介した
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4006000073/showshotcorne-22/
幾何への誘い (岩波現代文庫―学術) (文庫)
小平 邦彦 (著)
ともつながりますね。
--- ここまで ---
と同じ話ね。

http://www.geocities.jp/sgwr0/cone/cone.html
錐形と双対錐形
にある「頂点周りの曲率がガウス写像でできる曲面上の表面積で定義できる」
というのは、ブラックホールのエントロピーの話にそっくり。
 そうなんですか?>教えて、偉い人。
http://www.geocities.jp/sgwr0/gityuu/gityuu.html
擬柱の体積
というのは、面白いですね。そもそも擬柱という言葉、初めて聞いた。
http://sekouchishiki.ichi-ichi.info/modules/sekou/02_01sokuryou.html
建築の基礎知識
には、擬柱公式による体積の計算が出てますね。

 せっかく話がつながったから、小平邦彦「幾何への誘い」のことをもうちょ
っと。
 「幾何への誘い」は、元々、1991年10月に岩波書店から出て、上記アマゾン
のリンクは、それが2000年に岩波現代文庫に入ったもの。
 岩波市民講座での講義が元になっていて、一般市民向けの幾何学入門。
 小平先生は、数学のノーベル賞といわれるフィールズ賞を受賞した大先生で
すが、嘆いてるの。現代日本の教育で、旧制中学時代にあった平面幾何がすい
ぶん軽んじられていることに。おれがみるところ、昔の数学の教え方は、現代
数学の視点からすると野蛮で欠陥品だという感じなんです。ユークリッド幾何
学的な点や直線の定義にしろ、あれこれ、テキトーで、それじゃいかんと。だ
から、昔のやり方をやめたと。
 ところが、それによって、幾何学が高校生までの数学の初心者にとって、身
近に感じられないものになってしまい、平面幾何で定規とコンパスを使って自
分で手を動かして理解していく、そのことで論理的思考を養ったり、数学的セ
ンスを養ったりすることが難しくなったと。
 平面幾何は定規とコンパスでやる自然科学なんだと。それがおろそかになっ
たから、数学好きも減り、理科好きも減り、科学立国日本、技術立国日本も危
うくなってきていると。
 ざっとこんな主張です。

 35年前から40年くらい前のおれらの中学、高校時代って、もう、小平先生が
批判する教え方だったのかな。
 集合というのがとても大事という話は、小学校高学年の頃か、中学の頃にど
の先生だったか忘れたが、おっしゃっていた記憶はあり、あの頃、集合の考え
方が、数学教育にだいぶ入ってきた気がするのね。
 そのときに、平面幾何もだいぶ減らされたんだと思う。それでも、ずいぶん、
定規とコンパスであれこれ作図しましたけどね。旧制中学のは、もっとすごか
ったんでしょうね。
 小平先生が平面幾何を習ったとき、先生は、数学とはすごく厳密な学問だと
感じたそうです。ところが、後に現代数学を学ぶと、実は、あの平面幾何は、
いろいろといい加減だったことがわかるわけ。しかし、それでもなお、平面幾
何は、数学の初等教育に非常に有効だというわけ。
 平面幾何が論理的思考力を養うのに有効なこと、そして理解しやすいことは、
実感としてよくわかる。
 ここでいう平面幾何は、定規とコンパスを使って、補助線を引いたりして、
この角とあの角が同じだから、この三角形とあの三角形は合同。よって、この
辺の長さがああなって、結果として、この部分の面積はこうなるといった、あ
れです、あれ。
 平面幾何がいいのは、何より、目で見てすぐわかること。こことここの角度
が同じなら、これは二等辺三角形だから、この辺とこの辺は同じ長さだよねな
んて、すぐわかる。
 論理の展開は厳密です。理詰めでやっていかないと証明できない。論理の展
開が目で見てよくわかるから、途中、おかしいことにもすぐ気がつく。だから、
論理的思考力が身に付く。この論理展開のところが、若き小平先生には、非常
に厳密な科学性を感じさせたんだね。

 小平先生が旧制中学だったときの標準的な教科書は、大正15年に出た掛谷宗
一「新定 平面幾何」(大日本図書)、参考書は、大正9年に出た秋山武太郎
「わかる幾何学」(高岡書店)。「幾何への誘い」によれば、「わかる幾何学」
は百数十版を重ねた名著で、一度、絶版になったが、昭和34年(おお、おれが
生まれた年だ)に、日新出版から復刊されたとのこと。
 はうあ!
 あるある。掛谷宗一「新定 平面幾何」は、アマゾンにないけれど、「わか
る幾何学」はありますね。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/481730006X/showshotcorne-22/
わかる幾何学 (わかる数学全書 (3)) (単行本)
秋山 武太郎 (著), 春日屋 伸昌
 ちゃんと関連書に、
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4006000073/showshotcorne-22/
幾何への誘い (岩波現代文庫―学術) (文庫)
が出てますね。
 「幾何への誘い」を読んだ人が、探して購入するんでしょうね。わかるわか
る。一度、見てみたいと思うもん。
 「幾何への誘い」の第1章は、「わかる幾何学」を使って、旧制中学の平面
幾何の勉強がどういうものだったかを示したもの。
 「わかる幾何学」は、豪快なんです。点の定義、直線の厳密な定義、小難し
い話は、哲学者にでも任せておいて、おれたちは、定規とコンパスでがしがし
作図して勉強しようぜなんてことが、書いてあるわけ。ほんとに、「こんなこ
とはどうでもよい。次の定義もどうでもよい」などと書いてあるんです。
 たしかに野蛮といえば、野蛮ですよね。^^;
 第2章は、逆に現代数学の巨人ヒルベルトの公理主義による平面幾何をやり
ながら、現代数学の目からみると、第1章のユークリッド的平面幾何がどうい
う問題があると思われているのかを示しています。
 第3章は、複素数と幾何の関係。複素平面、いわゆるガウス平面を使って複
素数の幾何学的性質を調べて、複素数の理解を深める趣向です。
 上野健爾氏による解説も素晴らしくて、単元毎に分解した数学教育では、数
学の各分野の有機的なつながりがみえてこない。小平先生は、初等教育におけ
る数学の現代化に批判的で、平面幾何はそれを是正するのにいい教材だという
のが、よくわかる解説です。
 この解説には、和算の話も出ています。ユークリッドの原論の平面幾何の部
分は中国語訳として「幾何原本」があって、江戸時代に日本にも入ってきたそ
うです。しかし、日本の和算家たちは、当たり前のことを議論しているだけで
程度が低いといって軽んじたそうです。
 個別の公式をみて、なんだ、こんなものは知ってるよと思ってしまって、公
理と論理によって数学を発展させていくという手法そのものの偉大さを理解で
きなかった。それが和算の限界だったと。和算が廃れる原因になったんですね。
 これも、先に述べた、プロセスを理解しようとしない悲劇ですね。

関連:
http://iiyu.asablo.jp/blog/2006/01/21/220708
ちくま学芸文庫 Math & Science
http://iiyu.asablo.jp/blog/2008/07/09/3617104
ちくま学芸文庫 Math & Scienceやら物理学の名著が続々復刊
http://iiyu.asablo.jp/blog/2009/01/11/4052892
ちくま学芸文庫の数学と物理関係(Math & Science)

http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/01/19/1123372
Maxima、すげえじゃん
http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/03/28/1350929
横田博史著「はじめてのMaxima」

http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/04/04/1368395
竹内薫さんのMaxima本
http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/07/18/1663085
竹内薫著「はじめての数式処理ソフト」

http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/01/20/1126597
Maxima, BCPL, Algol, APL, SNOBOL
http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/01/26/1138367
Maxima, KNOPPIX/Math, R, Octaveその他

コメント

_ Dosei-san ― 2012年12月24日 07時10分16秒

"現代化"世代の方ですか。その後の教育については、初等幾何学や解析幾何学を重視する戦前色が強く残る古典的教育も現代化も達成できずに、大幅に衰退しました。日本人は初等幾何学を重視するような古典数学派が多く、わかる幾何学も戦前世代の科学者たちがよく読んだ、と有名で、物理学者の江沢洋も高校時代に読破しているそうです。私は現代化主義者なのですが、ブルバキに詳しい高橋礼司いわく、日本人ではこういう古典派が多くて、私のような現代数学マニアはむしろ少数派のようです。小平もそうですが岡潔も現代化に大変悲観的で冬の時代だと毒づいたと言われています。初等幾何学を廃止しろといったのはデュドネ(ブルバキ学派の一員)で、彼の著書「線型代数と初等幾何」で有名ですが、図が皆無。歴史上はこれよりちょっと前のがヒルベルトの幾何学基礎論が有名で、これには図がでてきますが、デュドネのは完全に抽象理論だけです。ブルバキのメンバーで、超函数理論でも有名なローラン・シュワルツは自伝にあるように幾何学的直感が何一つ理解不可能でピタゴラスの定理のようなものですら理解できないほどであったらしいですが、幾何学は大得意で図を一切出さなくても完璧に理解できたそうです。脳の構造が違うのでしょう。日本人の大多数は、具体例から入らないと理解できないが、ごく少数、抽象理論から入らないと理論できないような人もシュワルツのように存在するんですよ。私もそうでした。ユークリッドもアポロニウスも図がなくて理解可能ですが、図が見えないとダメだという人とは違うんです。こういう人間の場合具体例から入って行くのがむしろ苦痛であり、抽象理論から入っていってその応用として普通の人が抽象理論を理解するために必要な具体例を理解できるんですね。しかし本当に少ないようで、数学史を紐解いても西洋人ですらごくわずかしかいないようですが。

こういう論争がしたいのではないですが、いずれにせよ、これらの勉強は論理的思考能力を鍛えるというところに重点が置かれるわけですが、初等幾何学も現代数学もいずれも教えずに、幾何学や論理学なども単元ごと削除されたものも少なくありません。数学にせよ物理にせよ、そういう有機的繋がりや理論そのものを自力で再構築できるんだ、数学とは証明である、といった内容すら最近の学生はわからないようで、日本数学会にあるように証明問題も自力で解けない学生が増えているようです。初等幾何学や解析幾何学といった自力で作図する幾何学色が残る古典数学と現代数学の双方が教えられれば理想的なのでしょうが、時間制限的にも苦しいでしょうから難しいところです。こういう昔の解析幾何学にせよブルバキの書物にせよ計算尺にせよ若い人にこそ勧めたいものです。幾何学と聞いても、ユークリッド幾何学から非ユークリッド幾何学ぐらいまでしか知らず、あとは現代幾何学が湧いてでたように思っている若者もおりました。ここらの歴史は高校大学への線型代数の導入で古典派と現代派の内ゲバでどっちつかずで最も重要な論理的思考力や批判的思考力といった能力を培うといった一番守らねばならない内容が最も軽視されないがしろにされてきました。昔は小学校から大学まで初等幾何や解析幾何学、代数・幾何などを教えていましたが現代化にとって変わられようとしたものの双方痛み分けで半々ぐらいになってしまうという最悪のカリキュラムとなり、一番大切な論理的思考力がないがしろにされた。

_ Dosei-san ― 2012年12月24日 07時38分54秒

追記
初等幾何学が江戸時代の日本に根付かなかったのは大変興味深いです。今でも証明なんて計算じゃないかと勘違いしておる学生も多いですが、こういうのは江戸時代からの日本人の本能だったわけだ。。。和算は当方詳しくないのですが、微積分や行列式はあり、天文学も非常に優れていたのに、なぜ物理学が生まれなかったのかは科学史のテーマでしょう。物理学が生まれれば産業革命を実現して日本が世界征服に乗り出していたかもしれません。しかし中国でも朝鮮でもにたようなもので純粋数学はそこそこ進んでいたが物理学や工学に結びつかず、産業革命は東洋で起こらなかった。科学史は詳しくないので独自論を張ることはできませんが、福沢諭吉が物理学を崇拝し、当時の慶應義塾では物理学が全員必修で物理学は合理主義や批判的精神を身につけるために最適であると述べているのは興味深いです。これはKindleで無料で公開されているのですが、中国の陰陽五行説を痛烈に批判していて、こんな妄想信じてるから科学が中国で生まれなかったんだよ、中国とは違うのだよ中国とは、のようなことを福沢諭吉が言っていました。しかしそんな福沢の崇高な精神も忘れ去られて論理的思考力や批判的精神を養う手段としての数学や物理学は壊滅し、ロジックや理論のなりたちを軽視する昨今の情勢は誠に遺憾であると思います。江戸時代の自然観と科学が導入された後の日本人の自然観とを対比する小説かなにかを国語の時間あたりに昔やった記憶があるのですが(起源が思い出せない)、日本人も証明や論理学を軽視するような状況をみているとそう簡単に変われないのかもしれません。

ところでルジャンドルの初等幾何学をご存知でしょうか?あのガロアが読んだと言われる伝説の初等幾何学の教科書で日本でも明治時代に邦訳されたことがあるみたいですが、その後ずっと絶版のようで、私も存在を歴史書で知りました。プランクの力学も裳華房HPに公開されているのですが、こういう古本も出回っていないが著作権も生きているような昔の古典的名著を大切に扱ってほしいと思ってます。何なら、Kindleなどで復活させたい。まだまだ電子書籍では日本語だと理系の専門書は皆無です。EPUBだと数式などもまだまだのようです。で、話を戻しますと、ルジャンドルの幾何学の入門書、ガロアが読んだということはフランス革命期に出版されました。当時西洋では幾何学すなわち論理学と謳われており、三段論法(AならばB)かつ(BならばC)ならば(AならばC)といったものも丸暗記していて、適用ミスが絶えなかったとかどこかで皮肉られてましたが、それはともかく英国ではこのようなユークリッドの原典の暗記主義が主流だったのに対し、一方フランスではルジャンドルのような直感とロジックを適度に織り交ぜ改良したものであり、なんとガロアは普通の学生が何年もかけて学ぶこの書物をたった数日で読破し完璧に理解してしまったという伝説があります。これこそ、元祖「わかる幾何学」だと思いますが、未だに邦訳が復活する気配もなく・・・こういう古典的名著は本の中に書いてあったら全て読破するタイプなのですが、岩波文庫にでも収められてはいるのかと思ったら、未だに和訳すら存在しないものとか、結構多いんですよね。せっかくガロアも読んだのだから自分も・・・と思っても手に入らないもどかしさ。是非とも読んでみたいと思っているところですが、昭和の古本なら出回ってますが明治はさすがに入手困難なようで残念です。

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_ ホットコーナーの舞台裏 - 2010年03月21日 05時59分53秒

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 今年の2月。東海大学出版会の田志口克己(たしぐち かつみ)

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2010年06月05日 11時07分00秒

ASAHIネット(http://asahi-net.jp )のjouwa/salonからホットコーナー(http://www.asahi-net.or.jp/~ki4s-nkmr/ )に転載したものから。
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 この前、数学関係とLisp関係ばかり売れているときがあった。
 Lisp

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2010年11月14日 03時38分00秒

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http://iiyu.asablo.jp/blog/2010/11/14/5500945
東進ブックス 大学受験 気鋭の講師

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2011年01月10日 13時05分05秒

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人はなぜ数学が嫌

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2011年01月31日 03時46分47秒

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http://iiyu.asablo.jp/blog/2011/01/03/5620942
テキストマイニングで広がる看護の

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2011年06月09日 06時42分57秒

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 仕事や会社の引っ越しなど公私ともに忙しかったので、ずっと書け

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2012年04月15日 08時39分38秒

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 以前、
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新体系

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2012年05月11日 05時48分59秒

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http://iiyu.asablo.jp/blog/2012/05/10/6441629
数学のDVDや本が、あれこれ売れてる

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2012年06月20日 06時57分42秒

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 献本、ありがとうございます。
 来週、九大に行くので、あれこれ

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2013年01月21日 09時43分56秒

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 いまからだと間に合わないと思うが、こんなのがありました。
 出

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2013年01月23日 10時01分47秒

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 こんなのが出ていた。知らなかった。
 三省堂の数学の教科書と指

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 お買い上げありがとうございます。
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_ ホットコーナーの舞台裏 - 2013年08月30日 09時24分15秒

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 お買い上げありがとうございます。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2013年10月14日 12時38分05秒

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 最近、数学の本がいっぱい売れていると書いたけど、調べると、ほ

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2014年08月14日 10時28分45秒

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 お買い上げありがとうございます。
 先月、今月は、数学の本がま

_ ホットコーナーの舞台裏 - 2015年04月19日 13時04分06秒

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 今日は、この本のことをやっと書く。
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