http://iiyu.asablo.jp/blog/2007/10/16/1856390
ポアンカレ予想
の続き。
ASAHIネット(http://www.asahi-net.or.jp)のjouwa/salonからホットコーナー(http://www.asahi-net.or.jp/~ki4s-nkmr/ )に転載したものから。
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標題: Re: ポアンカレ予想
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　ポアンカレ予想の、NHKスペシャル「100年の難問はなぜ解けたのか～
天才数学者　失踪の謎」を昨日ようやく見た。

　一歩間違うと廃人といった世界だなぁ。でも本人達もそれを自覚してい
て、あえて、あるいは制御できずやってんだろうな。
　見ていて、殆どの人が物理方面から攻めていなかったということに一番
吃驚した(両刀使い人は他にいなかったのか)。

　ペレルマンが今後何をするか、"ポアンカレ予想"から思いついて今度は
"ペレルマン予想"というのが出てきたら面白いかなと思った(連鎖)。(^o^;)
　自分でも訳がわからんままに"○○予想"というのを作ったらいいかも。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　穂高


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標題: Re: ポアンカレ予想
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あ、まだみてねえや。

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標題: Re: ポアンカレ予想
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> "ペレルマン予想"というのが出てきたら面白いかなと思った(連鎖)。(^o^;)

SF作家のアシモフは生化学者でもありましたが、彼は科学エッセイの中で
「<アシモフの仮説>でさえも、その可能性は徐々に指の間からすり抜けてゆき」
(空想自然科学入門　早川文庫NF)
と冗談交じりに慨嘆していました。
そんな彼が書いていた「小さいことは多いこと」の法則というのがあります。
岩よりも小石、さらには砂粒のほうが数が多い。動物もサイズの小さいものの
ほうが数が多いように見えます。星の数も大きいものより小さいもののほうが
多いように思えます。
どなたか反例を思いつかれませんでしょうか？私は思いつけませんでした。
これなら「アシモフ仮説」と呼んでもよさそうに思いました。
アシモフ以前に思いついた人がいそうなのが難点ですが・・・
--
ryo

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標題: アシモフ仮説の反例
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俺の財布の中味。
５千円札は1万円より大抵すくない。(昨日は違った)
５円玉、50円玉は100円玉より大抵すくない。

これはだめか、サンプリング範囲が狭すぎるな。
日本に出回っている、か

あった!
２千円札は1万円札よりすくない

自然界じゃないって、、、はい、すみません
mtv

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標題: Re: ポアンカレ予想
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　うはっ、アシモフはもうン十年読んでないや。小学、中学で読んだ程度。(^^;)

>そんな彼が書いていた「小さいことは多いこと」の法則というのがあります。

　物体がどんな成分からできているかっつーので考えたら、種類は限られて
来そうな。その種類が寄り集まってできているなら、配列などは関係なく、
その数は膨大で、やはり「小さいことは多いこと」になろうかと、大雑把に
思った。(^^;)

　　　　　　　　　　　　　細かいことは知らぬままに感じたことを　穂高

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標題: Re: ポアンカレ予想
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　おれも、録画予約してたことをすっかり忘れていて、やっと観ました。
　いいね、この番組。わかりやすい。ただ、番組タイトルにある「失踪の謎」
は結局わかりませんが。^^;

　ポアンカレ予想のような歴史的大難問の場合、本気で挑戦するかどうかは、
人生を左右する大問題ですよね。成功すれば歴史に名が残るけれど、人生を棒
に振った人たちも多いわけだから。でも、そういう挑戦者が少しずつでも解明
したからこそ、いろんなことがわかって証明にまでたどり着けるわけですけど。
　フェルマーの定理もそうで、
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4102159711/showshotcorne-22/
サイモン・シン著, 青木薫訳「フェルマーの最終定理」
でも、最終的に証明したワイルズのその辺の苦悩が出てきます。

　数学の抽象的世界にのめりこんで、現実に戻ってこられなくなって廃人同様
になる話は、他の分野でも似たような話がありますね。何度か紹介した
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/410301671X/showshotcorne-22/
羽生善治, 松原仁, 伊藤毅志著「先を読む頭脳 」
で、将棋界のスーパースター羽生さんが、将棋のことを考えるには何も要らな
いので、放置しているとずっと将棋ばかり考えてしまうので、意識的にリアル
の日常生活に戻るようなことをやってるなんてことを書いてました。
　文学界のスーパースター筒井さん(筒井康隆)も、小説執筆中は、虚構世界の
中にどっぷり入ったままなので日常生活がない。そういう生活を何十年も送っ
てきた。おれの人生を返せ＼(^O^)／みたいなことを、どれかのエッセイで書
いてましたね。
　数学者もそうなんでしょうね。脳に栄養さえ行っていれば、いつでもどこで
もいつまでも考えられるから。
　家族の一言で、ポアンカレに取り憑かれた生活から普通の人生にも戻れてバ
ランスを取り戻した数学者の話も、NHKスペシャルでは出てましたね。

　フランスのアンリ・ポアンカレ高校(そういう名前の高校がある！)での、ポ
アンカレ予想の説明がわかりやすかった。
　ロケットだっけ？にロープをくくりつけて地球から発射して、宇宙を一周し
て戻ってきたとき、そのロープの両端を引っ張ってたぐりよせていったとき、
うまく回収できれば宇宙は大体球だと思っていい、でも、どこかで引っかかっ
て回収できなかったから、球じゃないってな解説で、CGを使ってやってました。
　トポロジーの話もかっこよかった。穴の数で分類して大雑把に考えるから、
皿は穴がないから変形すると結局球と同じ。でも、ティーカップは取っ手の部
分に穴があるから、ドーナッツと同じ。ティーポットは取っ手の部分と注ぎ口
の部分に穴があるから、２つ穴のドーナッツと同じなどといってるそばから、
皿が球に、ティーカップがドーナッツに、ティーポットが２つ穴のドーナッツ
にモーフィングしていくCGがよかった。
　そしてトポロジーは、微分幾何学を押しのけて主流にのし上がったという話
でした。これが、ポアンカレ予想の解決にもつながるし、解決できないことに
もつながるんですね。

　３次元より上の高次元で考えると、見通しがよくなるという話もよかった。
　ジェットコースターの軌道は我々が普通に見る３次元では決してからまって
ないけれど、２次元に投影された影をみているだけでは、からまったようにみ
えるという話でした。
　なんか高次元の話をされると、
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4140812397/showshotcorne-22/
リサ・ランドール著, 塩原通緒訳「ワープする宇宙―5次元時空の謎を解く」
を、また思い出しちゃうなあ。おれ、この前、九大に行ったとき、原書も買っ
たんですよ。あ、それで、吉村さんのメールにウェブやブログで返事しようと
思って、返事してないこと思い出した。そのうちやります。

　ペレルマンってすごいのね。数学が抜群にできて、高校生のときに数学オリ
ンピックに出たし、でも、彼には数学オリンピックの問題は簡単すぎたといっ
てたけど、物理の才能も数学と同等以上にすごかったんですね。
　だから、物理の手法である微分幾何のリッチフロー方程式の論文を読んで、
突然、ポアンカレ予想が解けると直感したんでしょうね。

http://iiyu.asablo.jp/blog/2005/05/11/2473
女性専用車両とポアンカレ予想
で紹介した日経サイエンス2004年10月号の
http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/0410/poincare.html
ついに証明された？　ポアンカレ予想
にもあったと思うけど、サーストンの幾何化予想の一部として解いているわけ
ですよね。これも、NHKスペシャルで言及していたと思う。

　それにしても、トポロジーの問題だと思ってトポロジー的手法で挑戦してき
て解けなかったトポロジー系の数学者が嘆いたというのは、さもありなんです
ね。さらに悲しいことに、ペレルマンの証明は物理の手法やトポロジーによっ
て古い数学とみなされていた微分幾何を使っていたので、理解できなかったと
いうのが、さらに涙を誘いますね。^^;

http://ja.wikipedia.org/wiki/ポアンカレ予想
も、NHKスペシャルの内容が追加されていますね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/グリゴリー・ペレルマン
もありますね。

　2chに面白い引用がありました。
　その引用元の(2chの引用では先頭の h がないが)
http://otdi1.jbbs.livedoor.jp/essayKI/bbs_plain?base=392&range=1
は、もうないみたいだし、2chの書き込みも、そのうち消えるだろうから、引
用しておきます。

2007/11/03追記：
　ponさんから、以下にあることを教えていただきました。ありがとうございました。
--- ここから ----
原文はここにあるので、本文中にリンクを記しておくといいでしょう。

http://www.doblog.com/weblog/myblog/19256?TYPE=1&genreid=42320
-- ここまで ---

http://news21.2ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1149563054/-100
から引用。以下、中村による整形あり。
--- ここから ---
77 ：名無しのひみつ：2006/06/15(木) 17:21:44
　ぐぐって調べてみたけどこんな感じの話らしい。
　真面目に全部潰していくとそれなりの量になるのかもね。

ttp://otdi1.jbbs.livedoor.jp/essayKI/bbs_plain?base=392&range=1
から一部抜粋

　この論文のアイデア（もちろん細かい数学は私には現段階では理解できない
が）は、非常に”物理的”であることに驚いたのである。だから、私にはむし
ろ非常に理解しやすかったのである。むしろ数学者には理解しにくかったのか
も知れない。

　基本アイデアはこうである。

　「ポアンカレ予想」の主張は、３球面（これは４つの複素数x, y, z, wを使
って|x|^2+|y|^2+|z|^2+|w|^2=1で表される）が３次元多様体の中で一番単純
なものである、ということである。だから、もし任意の３次元多様体から出発
してこれをどんどん変型していけば、結局はもっとも単純な３次元多様体であ
る３球面に行き着くはずである、というアイデアである。これを最初に考え出
したのはリチャード・ハミルトンという人であるらしい。

　たとえば、２球面（円周）を考えてみよう。そして円周と同相のもっと複雑
な図形があるとする。もしそれをゴムで作ったと考えれば、ゴムを放せばゴム
の張力によってどんどん変型して一番安定な形、すなわち円形に戻る。これの
３次元版を考えたと言うわけである。

　この時のゴムの張力によってどんどん図形が変型して行く様を数学的には
『リッチフロー』といい、これを表す＞方程式を『リッチフロー方程式』と呼
ぶらしい。これは計量テンソルg_{ij}の時間微分が曲率Ｒに比例するという方
程式（dg_{ij}/dt = -2R_{ij})である。簡単に言えば、曲がっているところほ
ど変型が早い、ということである。
　ゴムの話で考えれば、なるほどそうである。

　さて、ここで物理のアイデアに話は飛ぶ。イリヤ・プリゴジン博士の有名な
本『存在から発展へ』（みすず書房）によれば、ある種の”フロー方程式”が
ある場合（これは例えば、ハミルトンフローやリュービルフローなど何でも良
いが）、リャプノフ関数というものを定義できれば、そのフローの行き着く先
が安定かどうか必ず判定できるという話がある。物理のリュービルフローの場
合のリャプノフ関数が、いわゆるエントロピーと呼ばれるものである。

　これが有名な『エントロピーは増大する』という言葉の数学的な意味であり、
これを『熱力学の第二法則』と物理では呼んでいる。自然界のエントロピーは
かならずどんな場合でも増大する。そしてこれが自然界の『不可逆過程』のル
ーツなのである、というのが我々物理学者の理解している世界観である。

　そこで、同様に『リッチフロー方程式』の場合にも一種の『リャプノフ関数』
が定義できるのではないか。それによってこの『リッチフロー方程式』の行き
着く先が安定であることが示せるのだ、というのが、ペレルマン博士のアイデ
アのようである。

　そこで博士は『リッチフロー方程式』に対する一種のエントロピー関数（リ
ャプノフ関数）を定義したのである。
　つまり、これは図形の持つエントロピーである（もっともこの場合には、”
複雑なものからもっとも単純なものに行き着く”ということのために、”負”
のエントロピーである）。そしてこの流れは一種の『不可逆過程』であり、必
ず最後にはもっとも安定な図形に行き着く。これこそ３球面である、というの
が、どうやらペレルマン博士の証明の意味であるようである。そう、私は理解
したのである。
--- ここまで ---

　わかりやすい説明だと感心したけど、上記の中でも、
--- ここから ---
イリヤ・プリゴジン博士の有名な本『存在から発展へ』（みすず書房）によれ
ば、ある種の”フロー方程式”がある場合（これは例えば、ハミルトンフロー
やリュービルフローなど何でも良いが）、リャプノフ関数というものを定義で
きれば、そのフローの行き着く先が安定かどうか必ず判定できるという話があ
る。物理のリュービルフローの場合のリャプノフ関数が、いわゆるエントロピ
ーと呼ばれるものである。
--- ここまで ---
の部分。エントロピーって、数学的には、そういう意味なのか。なんか、すご
い感動した。＼(^O^)／
　そして、次にも感動した(爆)。
--- ここから ---
78 ：名無しのひみつ：2006/06/15(木) 19:31:45
　で、その負の図形エントロピー理論をブラックホールのエントロピーと関連
付けたらあら不思議、 超弦何やらホログラフィック何とか量子何々宇宙論の
懸案が一気に解決という凄いことになる。
　と完全に適当なことを言ってみる。
--- ここまで ---

　ばかー。完全に適当じゃねえよ。お前、天才だよ。それこそ宇宙の真理だよ。
＼(^O^)／
　そういえば、日経サイエンス2007年12号のNews Scanに、新しい宇宙論の話
が出てました。「ビッグバン以前の宇宙を探して　新たな理論モデルが登場、
観測を通じて検証できるかも」だって。
　いま、観測的にも一番支持されているインフレーション理論ではまだ説明の
つかない部分があって、いろいろ理論が出ているそう。2001年に提唱された
「エキピロティック説」、2002年にエキピロティック説から導き出された「サ
イクリックモデル」など。
　これらバウンシングモデル(収縮・膨張を繰り返すモデル)は、難点があって
相手にされてなかったらしいんですが、この数ヵ月で進展があって、新しいバ
ウンシングモデルが立て続けに出てきて、それらはビッグバン時の特異点の問
題を回避していて、時空以外の余剰次元を必要としてないそうです。
　ひも理論で影響で、４次元時空以外に余剰次元が必要というのがいままでだ
ったけど、もっと一般的な物理だけで作れるという話です。余剰次元なしでOK
というのが、まずびっくり。
　もっと驚いたのが、ある２つのモデルでは、「ゴースト凝集体」という奇妙
な粒子からなる流体を想定するそうです。ほとんど、スタートレックとか宇宙
戦艦ヤマトみたいな、スペースオペラに登場する謎のSF的小道具ですね。^^;
　ほかにもいくつかの宇宙モデルが紹介してあります。